中国古代重要科技发明创造——勾股容圆

2018-04-11 10:02 来源:中国科学技术出版社 责任编辑:李好

  勾股容圆是通过勾股形和圆的各种相切关系求圆直径的问题,这是中国数学史上的一个重要问题。西汉的《九章算术》勾股章有已知勾股形的勾、股求其内切圆直径的问题,开创了勾股容圆的研究,其给出的公式是“三位(即勾、股、弦)并之为法,以勾乘股,倍之为实,实如法得径一步。”此即圆径d=2aba+b+c。刘徽用出入相补原理和率的理论(借助衰分术)两种方法证明了这个公式。

  宋金时期,洞渊在此基础上研究了同一个圆和各种勾股形的相切关系,给出了由勾股形的三边求圆径的9个公式,称为“洞渊九容”。洞渊是道教的派别,通“九数”,活跃于唐宋。李冶由洞渊九容演绎成《测圆海镜》(1248年),其中讨论了勾股形与圆的10种相切关系,并在卷一之首绘出“圆城图式”。

  除《九章算术》中所载情形,还有:圆心在勾上而圆切于股、弦,称为勾上容圆,圆径d=2abb+c;同样,股上容圆d=2aba+c;弦上容圆d=2aba+b;圆心在勾股交点(垂足)而圆切于弦,称为勾股上容圆,d=2abc;圆切于勾及股、弦的延长线,称为勾外容圆,d=2abb+c-a;同样,股外容圆d=2aba+c-b,弦外容圆d=2aba+b-c;圆心在股的延长线上而圆切于勾、弦的延长线,称为勾外容圆半,d=abc-a;同样,股外容圆半d=2abc-b.。这10种关系中哪9种是洞渊九容的内容,尚无足够资料论定。自然,圆城图式也应是洞渊九容的附图,而李冶作了补充。清代李善兰又补充了3种容圆关系:勾弦上容圆d=2abb,股弦上容圆d=2aba,弦外容圆半d=2abb-a。

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